belajar bersama matematika

Pernyataan dan Bukan Pernyataan

Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu kita bahas pengertian kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti.

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.

Perhatikan beberapa contoh berikut!

1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam

2. 4 + 3 = 8

4. Asep adalah bilangan ganjil

Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan. Sementara contoh nomor 3 dan 4 adalah kalimat yang tidak mempunyai arti.

Sekarang perhatikan contoh di bawah ini!

1. Rapikan tempat tidurmu!

2. Apakah hari ini akan hujan?

3. Berapa orang yang datang?

Kalimat di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.

Catatan:

Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan sebagainya.

Kalimat Terbuka

Perhatikan contoh berikut ini!

1. yang berdiri di bawah pohon itu tampan  rupanya

2. seseorang memakai baju biru

3. 2x + 8y > 0

4. x + 2 = 8

Keempat contoh di atas belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.

Variabel (peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.

Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian.

Contoh:

x + 2 = 8

x adalah variabel, 2 dan 8 adalah konstanta, dan x = 6 untuk x anggora bilangan real adalah selesaian.

Secara skematik, hubungan kalimat, pernyataan, dan kalimat terbuka dapat kita rumuskan sebagai berikut:

Pernyataan Majemuk

Logika  merupakan  sebuah  alat  yang  penting  untuk  berpikir  kritis  dan

penalaran deduktif. Dalam  logika diperlukan adanya proposisi, yakni pernyataan yang bernilai benar saja atau salah saja.

Contoh:

1.  “Jumlah dua bilangan genap  adalah genap” merupakan pernyataan bernilai benar;
2. “Kota  Semarang  terletak  di  propinsi  Jawa  Barat”  merupakan  pernyataan bernilai salah;
3.  “Kerjakan tugasmu” bukan merupakan pernyataan.

Pernyataan-pernyataan  pada  contoh  di  atas  merupakan  pernyataan-pernyataan  sederhana.  Sedangkan  pernyataan  yang  dirangkaikan  dengan  perangkai  logika “dan”, “atau”, “tidak”, “meskipun”, “walaupun”, “jika … maka”, disebut pernyataan majemuk. Dalam logika matematika, nilai kebenaran untuk  sebuah pernyataan majemuk  sudah dirumuskan secara  pasti,  sehingga  setiap  proses  penarikan  kesimpulan menggunakan  logika matematika  selalu  dapat  dikontrol  kevalidannya.  Beberapa  pernyataan  majemuk yang akan diuraikan dalam bab  ini adalah negasi, konjungsi, disjungsi,  implikasi dan biimplikasi.

Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):

: Merupakan lambang operasi untuk negasi

  : Merupakan lambang operasi untuk konjungsi

    : Merupakan lambang operasi untuk disjungsi

: Merupakan lambang operasi untuk implikasi

: Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi

                   

Ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi

1.  Ingkaran atau Negasi

Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “” atau “”.

Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar.

Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta menentukan nilai kebenarannya!

1. p         : kayu memuai bila dipanaskan (S)

~ p      : kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)

2.  r          : 3 bilangan positif (B)

~ r        : (cara mengingkar seperti ini salah)

3 bilangan negative

(Seharusnya) 3 bukan bilangan positif  (S)

Nilai kebenaran

Jika p suatu pernyataan benilai benar, maka  ~p bernilai salah dan sebaliknya jika p bernilai salah maka ~p bernilai benar.

tabel kebenaran

                                               

2.  Konjungsi 

Gabungan  dua  pernyataan  tunggal  yang  menggunakan  kata penghubung  “dan”  sehingga  terbentuk  pernyataan majemuk  disebut konjungsi. Konjungsi mempunyai kemiripan dengan operasi irisan () pada  himpunan.  Sehingga  sifat-sifat  irisan  dapat  digunakan  untuk mempelajari  bagian  ini.

Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan seri pada rangkaian listrik seperti gambar berikut:

Gambar rangkaian seri

Dari gambar rangkaian diatas menggunakan saklar symbol saklar 1 diberi symbol p dan saklar 2 diberi symbol q. Saklar terbuka (off) sebagai  pernyataan benar, saklar tertutup (on) sebagai pernyataan salah. Lampu yang dipasang pada rangkaian sebagai kebenaran dari pernyataan tersebut.

1. Jika saklar p dan q tertutup (on) ternyata lampu menyala maka pernyataan bernilai benar
2. Jika salah satu saklar p atau q terbuka (off) ternyatalampu tidak menyala maka pernyataan bernilai salah.
3. Jika keduanya saklar p dan q terbuka (off) ternyata lampu juga tidak menyala, maka pernyataan bernilai salah.

Berdasar kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu konjungsi p ∧ q pada lampu akan menyala hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya sama-sama tertutup sedangkan nilai kebenaran yang selain itu tidak menyala sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut:

Tabel Kebenaran Konjungsi

Contoh

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk pq berikut ini!

a. p         : 100 + 500 = 800

q         : 4 adalah faktor dari 12

b.   p          : Pulau Bali dikenal sebagai pulau Dewata

q          : 625 adalah bilangan kuadrat

Jawaban:

a.   p salah, q benar

p q : 100 + 500 = 800 dan 4 adalah faktor dari 12 (Salah)

Jadi,  (p q) = S.

b.   (p) = B,   (q) = B.

p q : Pulau Bali dikenal sebagai pulau Dewata dan 625 adalah

bilangan kuadrat (benar).

Jadi, (p q) = B.

3. Disjungsi

Disjungsi adalah proposisi majemuk yang menggunakan perangkai “atau”.

Poposisi  “p  atau  q”  dinotasikan q    p.  Tidak  seperti  pernyataan  berperangkai “dan”  yang  mempersyaratkan  terpenuhinya  kebenaran  semua  unsurnya,  pernyataan  berperangkai  “atau” menawarkan  suatu  pilihan,  artinya  jika  paling tidak salah satu dari kedua unsur proposisinya terpenuhi maka hal ini sudah cukup untuk pernyataan tersebut dikatakan benar.

Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan paralel pada rangkaian listrik seperti gambar berikut :

Gambar Rangkaian Paralel

Dari gambar rangkaian diatas menggunakan saklar symbol saklar A diberi symbol p dan saklar B diberi symbol q. Saklar terbuka (off) sebagai  pernyataan benar, saklar tertutup (on) sebagai pernyataan salah. Lampu yang dipasang pada rangkaian sebagai kebenaran dari pernyataan tersebut.

1. Jika saklar p dan q tertutup (on) ternyata lampu menyala maka pernyataan bernilai benar
2. Jika salah satu saklar p tertutup (on) dan q terbuka (off), atau jika salah satu saklar p terbuak (off) dan q tertutup (on) ternyata lampu menyala maka pernyataan bernilai benar.
3. Jika keduanya saklar p dan q terbuka (off) ternyata lampu juga tidak menyala, maka pernyataan bernilai salah.

Dari gambar rangkaian diatas  tampak bahwa  lampu tidak menyala jika saklar p maupun q sama-sama terbuka atau keduanya salah. Kita sarikan definisi konjungsi dengan tabel kebenaran berikut.

Tabel Kebenaran Disjungsi

Contoh

Tentukanlah nilai kebenaran untuk disjungsi dua pernyataan yang diberikan !

a.   p : 3 + 4 = 12

q : Dua meter sama dengan 200 cm

b.   p : 29 adalah bilangan prima

q : Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat

c.   p          : Dua garis yang sejajar mempunyai titik potong

q :    adalah bilangan cacah.

Jawaban:
a.   (p) = S,   (q) = B.

Jadi, (p q) = B.

p q :   3 + 4 = 12 atau dua meter sama dengan 200 cm (benar).

b.   (p) = B,   (q) = B.

Jadi, (p q) = B.

p q :   29 adalah bilangan prima atau Bandung adalah ibukota Provinsi

Jawa barat (benar).

c.   (p) = S,   (q) = S.

Jadi, (p q) = S.

4.    Implikasi

Untuk memahami implikasi, pelajarilah uraian berikut. Misalnya, Elzan berjanji pada Gusrayani, “Jika Sore nanti tidak hujan, maka saya akan mengajakmu nonton”. Janji Elzan ini hanyalah berlaku untuk kondisi sore nanti tidak hujan. Akibatnya, jika sore nanti hujan, tidak ada keharusan bagi Elzan untuk mengajak Gusrayani nonton.

Misalkan sore ini tidak hujan dan Elzan mengajak Gusrayani nonton, Gusrayani tidak akan kecewa karena Elzan memenuhi janjinya. Akan tetapi, jika sore ini hujan dan Elzan tetap mengajak Gusrayani menonton, Gusrayani tentu merasa senang sekali. Jika sore ini hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton, tentunya Gusrayani akan memakluminya. Bagaimana jika sore ini tidak hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton? Itu akan lain lagi ceritanya. Tentu saja Gusrayani akan kecewa dan menganggap Elzan sebagai pembohong yang tidak menepati janjinya.

Misalkan,   p : Sore tidak hujan.

q : Elzan mengajak Gusrayani menonton.

Pernyataan “jika sore nanti tidak hujan, maka Elzan akan mengajak Gusrayani nonton”. Dapat dinyatakan sebagai “jika p maka q” atau dilambangkan dengan “p q”. Suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q” disebut implikasi.

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu implikasi (pernyataan bersyarat) adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q”, dilambangkan dengan  p  q. Pernyataan p disebut hipotesis (ada juga yang menamakan anteseden) dari implikasi. Adapun pernyataan q disebut konklusi (atau kesimpulan, dan ada juga yang menamakan konsekuen). Implikasi bernilai salah hanya jika hipotesis p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah; untuk kasus lainnya adalah benar. Perhatikan tabel berikut ini.

Tabel nilai kebenaran operasi implikasi

Terdapat perbedaan antara implikasi dalam keseharian dan implikasi dalam logika matematika. Dalam keseharian, pernyataan hipotesis/anteseden p haruslah memiliki hubungan dengan  pernyataan konklusi/konsekuen q. Misalnya, pada contoh implikasi sebelumnya, “Jika sore nanti tidak hujan maka saya akan mengajakmu nonton”. Terdapat hubungan sebab-akibat. Dalam logika matematika, pernyataan hipotesis/anteseden p tidak harus memiliki hubungan dengan konklusi/konsekuen q. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh dibawah ini.

Contoh:

Tentukanlah nilai kebenaran dari implikasi berikut !

a. Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat.

b. Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.

c. Jika cos 30° = 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil.

Jawab :

a.   Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat.

Alasan salah, kesimpulan benar. Jadi, implikasi bernilai benar.

b.   Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.

Alasan benar, kesimpulan salah. Jadi implikasi bernilai salah.

c.     Jika cos 30°= 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil.

Alasan salah, kesimpulan salah. Jadi, implikasi bernilai benar.

5.   Biimplikasi

Perhatikanlah pernyataan berikut:

Jika sore ini hujan, maka jalan raya basah.

Jika jalan raya basah, apakah selalu disebabkan oleh hujan? Tentu saja tidak selalu begitu, karena jalan raya basah bisa saja disebabkan disiram, banjir, ataupun hal lainnya. Pernyataan seperti ini telah kita ketahui sebagai sebuah implikasi.

Sekarang, perhatikan pernyataan berikut:

Jika orang masih hidup maka dia masih bernafas.

Jika seseorang masih bernafas, apakah bisa dipastikan orang tersebut masih hidup? Ya, karena jika dia sudah tidak bernafas, pasti orang tersebut sudah meninggal. Pernyataan yang demikian disebut biimplikasi atau bikondisional atau bersyarat ganda.

Pernyataan biimplikasi dilambangkan dengan “”  yang berarti “jika dan hanya jika” disingkat “jhj” atau “jikka”. Biimplikasi “pq” ekuivalen  dengan “jika p maka q dan jika q maka p”, dinotasikan sebagai: (p  q)   (q  p).

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu biimplikasi adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk p jika dan hanya jika q dilambangkan dengan p  q. Biimplikasi p dan q bernilai benar jika keduanya p dan q adalah benar atau jika keduannya p dan q adalah salah; untuk kasus lainnya biimplikasi adalah salah.

Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi:

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran biimplikasi di bawah ini!

a. 20 + 7 = 27  jika dan hanya jika 27 bukan bilangan prima.

B                                                               B

(p) = B,   (q) = B. Jadi,  (p q) = B.

b. 2 + 5 = 7  jika dan hanya jika 7 adalah bilangan genap.

(p) = B,   (q) = S. Jadi,  (p q) = S.

c. tan² 45° + cos ² 45° = 2  jika dan hanya jika  tan² 45° = 2

(p) = S,   (q) = S. Jadi,  (p q) = B.

6.    Negasi Dari Pernyataan Majemuk

Berikut ini adalah pembahasan tentang negasi pernyataan majemuk, yaitu negasi suatu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi

1. Negasi Suatu Konjungsi

Karena suatu konjungsi p ∧ q akan bernilai benar hanya jika kedua komponennya bernilai benar. Maka negasi suatu konjungsi p  ∧ q adalah ~p  ∨ ~q; sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran berikut:

2. Negasi Suatu Disjungsi

Negasi suatu disjungsi p  ∨ q adalah ~p  ∧ ~q sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran berikut:

3. Negasi Suatu Implikasi

Negasi suatu implikasi p ⇒ q adalah p∧~q seperti ditunjukkan tabel kebenaran berikut ini:

Dengan demikian, p ⇒ q ≡ ~[~ (p ⇒ q)] ≡ ~( p ∧ ~q) ≡ ~p ∨ q

4. Negasi Suatu Biimplikasi

Karena biimplikasi atau bikondisional p ⇔ q ekuivalen dengan

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p);

sehingga:

~ (p ⇔ q)        ≡       ~[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]

≡  ~[(~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)]

≡  ~(~p ∨ q) ∨ ~(~q ∨ p)]

≡  (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)

Tabel kebenaran dari suatu negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi di atas

merupakan dasar dalam mencari nilai kebenaran pernyataan-pernyataan majemuk seperti di saat

menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk (~p ∧ r) ∨ (~r ⇒ q) seperti berikut ini

Contoh :

1. Negasi dari 5 + 2 = 8 dan adik naik kelas adalah 5 + 2  8 atau adik tidak naik kelas
2. Negasi dari jika adik belajar maka ia pandai adalah adik belajar dan ia tidak pandai